Exposés de séminaire pour le cours "Homologie et Topologie"

Exposés proposés

Sujet 1 : Groupe fondamental et homologie

1. Rappels (rapides) sur la définition du groupe fondamental (réf. : [Mas, §§II.1-3] ou [FTa, §1.2])
2. Démonstration du théorème H₁(X) = π₁(X)_ab (réf. : [Bre, §IV.3, pp. 172-175] ou [FTa, §7.1])
3. Cas des surfaces : calcul de π₁(S) et de H₁(S) en utilisant la représentation de S par des identification de côtés dans un polygône, et interprétation du résultat (réf. : [Mas, §IV.5] ou [FTa, pp. 74-76]))

Sujet 2 : Le théorème de Jordan-Brouwer et ses applications

1. Enoncé du théorème : si f: S^m→Sⁿ est un plongement, alors H_i˜(Sⁿ - f(S^m)) = Z si i = n-m-1, et H_i˜(Sⁿ - f(S^m)) = 0 sinon (la notation H_i˜ désignant l'homologie réduite)
2. Démonstration du lemme clé : si f: D^m→Sⁿ est un plongement, alors H_i˜(Sⁿ - f(D^m)) = 0 pour tout degré i≥0. Puis application à la démonstration du théorème
3. Corollaire : si f: S^n-1→Rⁿ est un plongement, alors f(S^n-1) partage Rⁿ en deux composantes connexes par arc
4. Éventuellement : si f: S^n-1×[0,1]→Sⁿ est un plongement, alors la clôture de chaque composante de Sⁿ - f(S^n-1×0) est homéomorphe à Dⁿ (théorème de Schoenflies généralisé)

Sujet 3 : Le théorème de Borsuk-Ulam et ses applications

1. Rappels sur l'homologie des espaces projectifs à coefficients dans Z⁄2Z
2. Démonstration du théorème : si f: S^m→Sⁿ est une application qui commute à l'antipode, alors on a nécessairement n≤m
3. Énoncé et démonstration du théorème de Borsuk-Ulam proprement dit
4. Le théorème du sandwich au jambon

Sujet 4 : L'homologie du cône d'une application

1. Définition du cône C(f) d'une application f: A→X
2. Notion de cofibration et relation C(f)~X⁄A
3. Relation H_n(X,A) = H_n(C(f),pt)

Sujet 5 : Théorème des points fixes de Lefschetz-Hopf

1. Définition du nombre de Lefschetz d'une application f: |K|→|L| pour des complexes simpliciaux finis K et L
2. Rappel sur la notion d'approximation simpliciale d'une application
3. Formule des traces de Hopf
4. Démonstration du théorème de point fixe de Lefschetz-Hopf : si L(f)≠0, alors f a un point fixe

Bibliographie

• [AGP] M. Aguilar, S. Gitler, C. Prieto : Algebraic topology from a homotopical viewpoint. Universitext, Springer, 2002.
• [Bre] G. Bredon : Topology and geometry. Graduate texts in mathematics, 139, Springer-Verlag, 1993.
• [FTa] Y. Félix, D. Tanré : Topologie algébrique. Sciences sup, Dunod, 2010.
• [Mas] W. Massey : A basic course in algebraic topology. Graduate texts in mathematics, 127, Springer-Verlag, 1991.