"Homologie et Topologie"

(Dernière mise à jour : 15/12/2014)        NOUVEAU : vidéos des cours 11 et 12

Cours fondamental du Master Mathématiques Recherche, 2ième année, Semestre 3 (2014-15) - Université Lille 1

par Ivo Dell'Ambrogio et Benoit Fresse

Présentation | Plan du cours | Prérequis et bibliographie | Fiches TD | Vidéos | Exposés de séminaire | Mémoires de M2 | Informations pratiques

Présentation

Le but de ce cours sera d'introduire des concepts et des outils fondamentaux de topologie algébrique. On mettra aussi un accent sur les interprétations combinatoires des constructions de l'homologie.

Ce cours permettra d'aborder le cours proposé par Alexis Virelizier sur les théories des champs quantiques topologiques au second semestre.

On partira de questions classiques (triangulation des surfaces, des variétés), puis on introduira la théorie de l'homologie singulière qui nous permettra de prouver l'invariance topologique d'expressions combinatoires introduites en première partie. On exposera de façon complète les fondements de la théorie ainsi que les applications classiques (théorème de Brouwer, théorème de Jordan, théorème d'invariance du domaine, ...). On introduira ensuite les théorèmes de dualité de Poincaré, puis on reviendra sur les approches combinatoires en seconde partie du cours, en expliquant la notion de complexe simplicial, qui modélise la structure combinatoire sous-jacente d'un polyèdre. On expliquera l'interprétation simpliciale de la dualité de Poincaré.

Plan du cours

§1. Introduction : triangulation et classification des surfaces

• Définition de variété, de surface, orientation
• Triangulation des surfaces compactes
• Construction des surfaces à partir de polygônes
• Caractéristique d'Euler, problème de l'invariance topologique
• Dimension supérieure. Problème du Hauptvermutung

§2. Homologie des espaces

• Propriétés axiomatiques de l'homologie
• Exemples de calculs : surfaces, sphères, espaces projectifs,...
• Applications : théorèmes de Brouwer, de Jordan, de Borsuk-Ulam, de l'invariance du domaine, de la boule chevelue...
• Définition de l'homologie singulière
• Homologie des complexes et algèbre homologique
• Propriétés de l'homologie singulière
• Groupes de torsions et formule des coefficients universels pour l'homologie

§3. Dualité et pseudovariétés

• Cohomologie
• Cup-produit et cap-produit
• Classe fondamentale et théorème de dualité de Poincaré

§4. Complexes simpliciaux et homologie

• Complexes simpliciaux : définition abstraite, réalisation géométrique
• Homologie simpliciale
• Identité des homologies simpliciale et singulière

Prérequis :

Notions fondamentales de topologie (espace topologique, espace quotient, recollement d'espaces, etc.) et d'algèbre (anneaux et modules).

Bibliographie:

1. G. Bredon, Topology and geometry, Graduate Texts in Mathematics 139, Springer-Verlag, 1993.
2. Y. Félix et D. Tanré, Topologie algébrique, Dunod, 2010.
3. M. J. Greenberg, Lectures on algebraic topology, Benjamin, 1967.
4. W. S. Massey, A basic course in algebraic topology, Graduate Texts in Mathematics 127, Springer-Verlag, 1991.
5. C. P. Rourke et B. J. Sanderson, Introduction to piecewise linear topology, Ergebnisse der Mathematik 69, Springer-Verlag, 1972.
6. H. Seifert et W. Threfall, Lehrbuch der Topologie, Teubner, 1934. (Traduction en anglais: A textbook of topology, Academic Press, 1980.)
7. E. H. Spanier, Algebraic topology, McGraw-Hill, 1966.
8. L. A. Steen et J. A. Seebach, Counterexamples in topology, Dover Publications, 1995 (reprint of the 2nd edition, 1978).

Fiches TD

• Fiche 1 (pdf) : suites exactes
• Fiche 2 (pdf) : topologie quotient, variétés
• Fiche 3 (pdf) : complexes et suites exactes, homotopies de chaînes
• Fiche 4 (pdf) : homologie des bouquets et des espaces projectifs, théorèmes de Brouwer et de l'invariance du domaine
• Fiche 5 (pdf) : polyèdres réguliers, complexe cellulaire, cup-produit, limites inductives

Vidéos des cours

Chaque cours est enregistré par les services multimédias de l'Université de Lille 1. Les vidéos sont librement accessibles aux liens suivants. (Voir ici pour la liste complète.)
La qualité de l'image est suffisante à partir de 480p (option en bas à droite de l'image).

• Cours 1A, 19/09/2014 : variétés topologiques et surfaces
  
• Cours 1B, 19/09/2014 : la somme connexe de deux surfaces
• Cours 2A, 26/09/2014 : forme canonique et triangulation des surfaces
• Cours 2B, 26/09/2014 : démonstration du théorème de classification des surfaces ("existence")
• Cours 3A, 03/10/2014 : la notion de categorie e l'homotopie des espaces
• Cours 3B, 03/10/2014 : axiomes d'une théorie d'homologie
• Cours 4A, 10/10/2014 : complexes de chaînes et homologie
• Cours 4B, 10/10/2014 : le complexe singulier et l'homologie singulière d'un espace
• Cours 5A, 17/10/2014 : homologie du point, axiome d'additivité, et axiome d'homotopie
• Cours 5B, 17/10/2014 : la suite exacte de Mayer-Vietoris
• Cours 6A, 24/10/2014 : applications du théorème de Mayer-Vietoris
• Cours 6B, 24/10/2014 : le théorème d'excision et ses applications
• Cours 7A, 07/11/2014 : homologie des espaces pointés et des bouquets
• Cours 7B, 07/11/2014 : CW-complexes et homologie cellulaire
• Cours 8A, 14/11/2014 : calcul des complexes cellulaires
• Cours 8B, 14/11/2014 : applications des complexes cellulaires
• Cours 9A, 21/11/2014 : complexes de cochaînes
• Cours 9B, 21/11/2014 : cohomologie des complexes de cochaînes et dualité
• Cours 10A, 28/11/2014 : la cohomologie singulière
• Cours 10B, 28/11/2014 : le cup-produit
• Cours 11A, 05/12/2014 : exemples d'algèbres de cohomologie
• Cours 11B, 05/12/2014 : proprietés du cap-produit
• Cours 12A, 12/12/2014 : orientation et homologie
• Cours 12B, 12/12/2014 : la dualite de Poincaré

Sujets de mémoire de M2

Pour l'année académique 2014-15, nous proposons plusieurs sujets de mémoire de Master 2 Recherche en Mathématiques dans le contexte de la topologie algébrique. Les prérequis nécessaires pour choisir un de ces mémoires correspondent au contenu de notre cours. Voici des descriptifs en pdf :

• Théorie de Morse, différentielle et discrète, par David Chataur.
• K-théorie topologique, par Ivo Dell'Ambrogio.
• Homologie, réécriture, polygraphes, par Benoit Fresse.
• Invariants quantiques des variétés et des noeuds, par Alexis Virelizier.

Informations pratiques

Dates et horaires :

Le cours aura lieu de fin septembre à décembre 2014, et comprend une formation de 3h de cours par semaine, plus 2h de TD chaque deux semaines, pour 12ECTS de crédits. Les détails sont comme suit (voir ici) :

Horaires du cours : 9h - 12h30 le vendredi, M2 salle Kampé de Fériet

Horaires du TD : 14h - 16h le jeudi (chaque deux semaines), M1 302

Premier cours : vendredi 19 septembre

Premier TD : jeudi 25 septembre

Lieu et transports :

Le cours se tiendra à l'UFR de Mathématique de l'Université Lille 1, campus "Cité Scientifique", Lille - Villeneuve d'Ascq (voir la page InfosPratiques.html pour les directions).

Le campus "Cité Scientifique" est relié aux gares principales de Lille et au centre de la ville par une ligne de métro efficace et entièrement automatisée (compter 20mn pour rejoindre l'UFR depuis les gares). La gare de Lille est elle-mème à 1H de Paris Nord en TGV, 35mn de Bruxelles en TGV, 1H20 de Londres en Eurostar, 35mn de Lens ou Valenciennes en TER, 40mn de Dunkerque en TER-GV, ... Pour des informations plus complètes (plans, ...), voir la page InfosPratiques.html

Liens :

• Site du Master Mathématiques Recherche, 2ième année de l'université Lille 1 (Programme des cours 2014-15, ...)
• Site du Labex CEMPI (Bourses d'excellences de Master, ...)